Sobre Poe, Maclaurin y las celdillas de las abejas...

          Es casi seguro que en alguna ocasión los lectores de Edgar Allan Poe (1809-1849) hayan tenido entre manos El Cuento Mil y dos de Sherezade. La historia es una escalofriante versión del destino final de la famosa narradora de Las Noches árabes. El cuento en sí se lee con mucho deleite por el enorme despliegue de conocimientos de los que se vale Poe para crear un argumento alucinante. Habla, por ejemplo, de bosques petrificados en Texas, el daguerrotipo, la pila voltaica, el jugador autómata de ajedrez de Maelzel, la máquina calculadora de Babbage, el electrotipo, el león-hormiga y las abejas. Esto último resulta lo más sorprendente. En una de las páginas de dicho cuento se lee lo siguiente (véase Aventuras de Arthur Gordon Pym y otros relatos, editorial Optima, Barcelona, 2da edición, 1999, p. 295):

          "Abandonando aquella tierra, llegamos en seguida a otra, en la que las abejas y los pájaros son matemáticos de tanto genio y erudición que diariamente dan lecciones científicas de geometría a los sabios del imperio. El rey de aquel lugar ofreció una recompensa por la solución de dos problemas muy difíciles; problemas que fueron resueltos al momento: uno por las abejas y otro por los pájaros; pero el rey guarda su solución en secreto y, sólo tras muchas discusiones y trabajo y la escritura de voluminosos libros durante una serie de años, llegaron los hombres matemáticos finalmente a soluciones idénticas a las dadas por las abejas y por los pájaros."

          Como se observa, Poe hace clara alusión a dos ancestrales problemas de las matemáticas. El primero, el de los pájaros, fue estudiado y analizado por el genio renacentista Leonardo da Vinci en El Códice de los pájaros (Biblioteca Real de Turín), que, dicho sea de paso, fue elemental para propiciar la invención de los molinos de viento y los aeroplanos. El segundo, igualmente interesante, es el problema de las abejas, del cual quiero detallar algunas cosas, que si bien no son nuevas, resulta interesante recordar desde el punto de vista matemático.

          Es popularmente conocido que las abejas son insectos sociales que se esfuerzan denodadamente en las colmenas (no tanto si consideramos los últimos estudios científicos), pero ¿cuántas personas saben que la construcción de la estructura interna de una celdilla del panal esconde un maravilloso y peculiar proceso matemático? ¿Quién podría sospechar que almacenar miel en un panal es un problema de máximos y mínimos? ¿A qué se debe la forma hexagonal de las celdas que forman el panal? ¿A qué se debe la elegante simetría de dichas celdas? Aunque ya anoté algunos descubrimientos matemáticos en una entrada anterior, añadiré ahora otra cuestión de interés en relación a la forma geométrica del fondo de las celdas.

          Las abejas construyen las celdillas de forma que sus paredes forman ángulos tan exactos que pueden almacenar en su interior la misma cantidad de miel empleando la mínima cantidad de cera en su construcción y lograr así la mayor estabilidad de la estructura, lo cual sucede cuando cada celda dispone de un fondo piramidal constituido por tres planos que se encuentran en un punto formando tres rombos idénticos. Para entender esto véase la figura siguiente:

          El ángulo JKL y el perímetro hexagonal determinan la forma final de la estructura más adecuada de la celda para almacenar la miel. ¿Cuánto mide dicho ángulo? ¿Qué tiene que ver con la forma hexagonal de la celda? Pues fueron grandes interrogantes, hasta que genios como Johanes Kepler, Charles Darwin, Giaccomo Maraldi, Lord Kelvin, Samuel Koenig, Gabriel Cramer y Colin Maclaurin los estudiaron a fondo. De entre las soluciones al problema de las abejas Maurice Maeterlinck (autor belga y premio Nobel de literatura en 1911) destaca, en su magnífica obra La vida de las abejas (léase capítulo 4), la de Maclaurin (el autor del famoso desarrollo en serie), cuyo trabajo al respecto puede encontrarse en los anales de la Sociedad Real de Londres. El ángulo agudo JKL resulta tener un valor aproximado de 70° 31'. 

          Algunos, como D'Arcy Thompson en su célebre On Growth and Form (Sobre el crecimiento y la forma), sugieren que la forma hexagonal es producto de la tensión superficial; otros, como Darwin, especulaban con que las celdas se acomodaban de tal forma que los espacios vecinos se redistribuyen partiendo de una forma cilíndrica hasta adoptar la inevitable forma hexagonal.

          Para Keith Devlin en El lenguaje de las matematicas "... no son las leyes de la naturaleza inanimada las que dan a los panales su elegante forma simétrica; son mas bien las propias abejas las que construyen sus panales de esa manera. Secretan la cera en forma de copos sólidos, y construyen el panal celda por celda y cara por cara. La humilde abeja es en algunos aspectos, por lo que se ve, un geómetra altamente consumado, al que la evolución ha equipado para la tarea de construir su panal de la forma matemática óptima."

          Aunque se trate de una licencia literaria, resulta muy sorprendente lo leído en el best seller de Dan Brown, El Codigo da Vinci (Doubleday, traducción española de Juanjo Estrella, Barcelona, Umbriel, 2003, Cap. 20, p. 121), sobre que la proporción aurea esté bastante relacionada con el mundo de las abejas, pues según dicho libro al dividir el número de hembras por el número de machos de cualquier colonia siempre se obtendrá como resultado el increíble número áureo: 1,618... Dejo la validez del dato como ejercicio para los lectores ¿Será este un dato empírico o se deducirá de la forma en que se reproducen las abejas?

          Finalmente, imaginemos que hace mucho tiempo existían diversas especies de abeja, que paralelamente construían celdillas de diferentes geometrías. Aquellas que gastaban menos recursos tenían una clara ventaja sobre las demás. ¿Se trata de una ventaja evolutiva según el concepto darwiniano?

Sobre abejas exploradoras, abejas conquistadoras y la genética de Apis mellifera...

En la última edición de Science se publican los resultados de un estudio realizado por un equipo internacional de investigadores sugiriendo que las emociones no se limitan únicamente a los seres humanos y a otros vertebrados. Algunas abejas son, también, más propensas que otras a buscar aventuras. Los cerebros de estas abejas, que se sienten atraídas por la novedad, presentan distintos patrones de actividad genética en las vías moleculares asociadas con la búsqueda de emociones. Los resultados ofrecen una nueva visión de la vida interior de las colmenas, que tradicionalmente venía siendo descrita como una colonia de trabajadoras, altamente jerarquizada, en el que cada abeja tiene un papel específico (nodriza, limpiadora, pecoreadora, por ejemplo) para servir a su reina.

Agrupando abejas mediante ruidos de metal, por Wenceslaus Hollar (Praga, 1607-Londres, 1677).
 

Según Gene Robinson, profesor de Entomología y director del Instituto de Biología Genómica y director del estudio, parece que las abejas como individuo, en realidad, difieren en su deseo o voluntad de realizar determinadas tareas, Según el experto, estas diferencias pueden deberse, en parte, a la variabilidad en las personalidades de las abejas. 

Robinson y sus colaboradores estudiaron dos comportamientos de búsqueda de novedad en las abejas melíferas: la exploración en la búsqueda de una nueva colmena y la recolección de néctar. Cuando una colonia de abejas deja atrás su antigua colmena, es debido a que la colonia se divide y el enjambre saliente debe encontrar un nuevo hogar. En este momento de crisis, algunas abejas intrépidas -menos del 5% del enjambre- se dedican a la exploración de una nueva ubicación para la colonia. Estas abejas, llamadas exploradoras de nidos, son, en promedio, 3.4 veces más propensas a convertirse, también, en exploradoras de comida. 

Los investigadores querían determinar la base molecular de estas diferencias en el comportamiento de las abejas melíferas, y para ello utilizaron análisis de microarrays para buscar diferencias en la actividad de miles de genes en los cerebros de las abejas exploradoras. Según Robinson, "esperábamos encontrar algunas, pero la magnitud de las diferencias fue sorprendente, teniendo en cuenta que tanto las exploradoras, como las no exploradoras, son también recolectoras". Entre los muchos genes expresados diferencialmente se encontraron las catecolaminas, el glutamato, y la señalización del ácido gamma-aminobutírico (GABA). Los investigadores se centraron en ellos porque en los vertebrados están involucrados en la regulación de búsqueda de la novedad y la respuesta a la recompensa. 

Para determinar si los cambios de señalización en el cerebro causan la búsqueda de novedad, los investigadores sometieron a los grupos de abejas a tratamientos para aumentar o inhibir estas sustancias químicas en el cerebro. Dos tratamientos, con glutamato y octopamina, aumentaron el deseo de exploración en abejas que no habían explorado antes. Por otro lado, el bloqueo de la señalización de la dopamina disminuyó el comportamiento de exploración.

Los resultados, finalmente, también sugieren que insectos, seres humanos y otros animales hacen uso del mismo sistema genético en la evolución del comportamiento. Los genes que codifican ciertas vías moleculares pueden desempeñar un papel en los mismos tipos de comportamientos, pero cada especie se adapta, posteriormente, de una manera distintiva.

Sobre el desabejamiento: CCD o el síndrome del colapso de las colonias de Apis mellifera…

La importancia de las abejas trasciende más allá de su propio nicho ecológico y de su posición como especie en la naturaleza. Las poblaciones de este himenóptero tienen un papel protagonista en el ámbito económico, puesto que se calcula que un tercio de la producción mundial de alimentos depende directamente de las abejas, cuya labor de polinización es indispensable para los cultivos. También se ha estimado que un 84% de las especies vegetales y un 76% de la producción alimentaria en Europa dependen de la polinización de las abejas. En números eso significa que unos 30.000 millones de euros de la economía mundial están ligados al sector apícola.

Ejemplar adulto de abeja portando sobre el torax un ácaro varroa (fotografía de Stephen Ausmus, USDA).

El volumen económico del sector apícola en la UE asciende a unos 15.000 millones de euros anuales. En este sector participan unos 600.000 apicultores, entre los que hay profesionales, aficionados y también productores agrícolas que tienen esta actividad como complemento de sus ingresos. España posee el mayor número de colmenas (2.459.373, el 17% de la UE, de las que un 80% pertenecen a apicultores profesionales) y es el país de la Unión que más se beneficia de los fondos europeos para el segmento apícola.

Pero hace ya varios años que, cada invierno, miles de apicultores de todo el mundo encuentran sus colmenas vacías de la noche a la mañana. Colonias completas se desvanecen sin dejar rastro. El responsable es el llamado Síndrome (trastorno o desorden) del colapso de las colonias (CCD, colony collapse disorder), también conocido como desabejamiento, una enfermedad que tiene desconcertada a la comunidad científica, por el desconocimiento de sus causas, y que pone en peligro la supervivencia de una especie básica para la biodiversidad. El problema puede considerarse global, según el informe recién hecho público por el Programa de Naciones Unidas para el Medio Ambiente (PNUMA), que asegura que este fenómeno se ha extendido a nuevas regiones del planeta. Hasta fechas recientes, sólo se había registrado un alarmante aumento de muertes en EEUU y en algunas regiones de Europa, incluida España. Sin embargo, según el informe, en los últimos años el problema se ha extendido a Australia, China, Japón y el norte de África, en la ribera del Nilo.

El informe señala que esta grave disminución de las colonias se debe a múltiples factores, como el cambio climático, la contaminación, los pesticidas y el creciente papel de determinados parásitos, que están mermando los cultivos. La relevancia de este desabejamiento es enorme, ya que en las últimas décadas se ha multiplicado el número de cultivos dependientes de la polinización por abejas. En el caso de determinadas frutas, la producción de semillas disminuye en más del 90% cuando desaparecen estas eficientes polinizadoras.  Ya en 2009 el controvertido documental 'Vanishing the bees' (La desaparición de las abejas) reflejaba el letal impacto de ciertos productos químicos agrícolas en el sector apícola.

 Producción de miel en EEUU desde 1945 hasta 2007, según el US Department of Agriculture's.

Precisamente el Parlamento Europeo aprobó el pasado martes 15 de noviembre un informe que solicita reforzar el apoyo al sector apícola en el marco de la nueva política agraria (PAC) a partir de 2013, creando un régimen especial de ayudas a los apicultores mediante pagos por colonias de abejas, y lanzando un proyecto europeo de recuperación de las poblaciones de Apis mellifera sostenido en el desarrollo de tratamientos eficaces e innovadores contra la varroasis (enfermedad que afecta a las abejas, causada por un ácaro parásito, y responsable de un 10% de pérdidas anuales). Según el informe, esta medida ha de contribuir a la preservación del sector apícola europeo e incentivará a los jóvenes a dedicarse a la apicultura.

Entre otros aspectos del informe, destaca la propuesta de creación de una red europea de colmenares de referencia para controlar los efectos de las condiciones medioambientales y las prácticas apícolas y agrícolas sobre la salud de las abejas. Además, solicita que se mejore la metodología de evaluación del riesgo para los plaguicidas, con el fin de proteger la salud de las colonias de abejas, y la introducción del etiquetado obligatorio con la indicación del país de origen para los productos apícolas importados o producidos en la UE. El texto también destaca la importancia de definir los parámetros de calidad de la miel y pide apoyo para la investigación de nuevos métodos que detecten la adulteración de este producto.

Sobre Apis mellifera, Apis mellifica y Linneo: un error de concepto…

Contrariamente a la que es creencia generalizada, la mayor parte de las especies de abejas (más de veinte mil conocidas) no son insectos sociales. Aquellas que sí lo son –todas ellas pertenecientes a las subfamilias Apinae y Meliponinae- también son grandes productoras de miel y, por ello, vienen siendo objeto preferente del interés del hombre y de las sociedades.

 

Estudio anatómico de la abeja (1630), según las observaciones al microscopio de
Francesco Stelluti (1577-1652), fundador de la Accademia dei Lincei, en Roma.

Perteneciente a la subfamilia Apinae y al género Apis, la especie Apis mellifera (engañosa denominación que significa “abeja portadora de miel”) es el nombre científico que recibe la abeja melífera común occidental, presente de forma autóctona o por la acción del hombre todo el planeta, exceptuando las tierras antárticas y el casquete polar ártico. Pero este nombre, acuñado por Linneo en 1758, se presta a confusión: las abejas no se ocupan en recoger miel en las flores para su traslado a la colmena, sino que la producen parcialmente en su propio saco de miel de forma previa a su almacenaje en las celdillas de los panales.

El néctar, secrección floral y también de algunas partes vivas de las plantas, es transformado de sacarosa a levulosa y glucosa mediante la enzima invertina, producida tanto en el buche de la abeja pecoreadora durante su vuelo así como en el de la abeja almacenadora ya en la propia colmena. A modo de ejemplo se muestran los datos facilitados por el profesor Fco. Rodríguez Icart, quien analizó y comparó el néctar de la flor de pipirigallo con la miel producida a partir de esta flor: para el néctar la relación sacarosa-glucosa es, aproximadamente, de 57 a 43, mientras que para la miel la relación pasa a ser de 8 a 92.

Linneo reconoció su error tres años más tarde, en 1761, y pretendió corregirlo en publicaciones posteriores rebautizando la especie como Apis mellifica (“abeja fabricante de miel”), pero en nomenclatura zoológica las reglas sobre la sinonimia se guían desde entonces por el principio de que el primer nombre asignado tiene preferencia sobre los posteriores, y por ello se sigue utilizando el más antiguo de los dos.

Sobre la conjetura del panal: Thomas C. Hales, Pappus de Alejandría, Teeteto y las abejas...

            Muchos de nosotros, quizá los más observadores, nos hemos fijado en la cantidad de simetrías existentes en la naturaleza, lo cual no es, con certeza, una simple cuestión de estética. Como en las matemáticas, para la naturaleza la simetría tiene que ver con el lenguaje, proporcionando a los animales y a las plantas un medio para transmitir gran cantidad de mensajes, que van desde la superioridad genética hasta la información de tipo alimenticio. Frecuentemente la simetría es un signo con significado y puede, en consecuencia, interpretarse como una forma de comunicación muy básica, casi virgen. Para un insecto como la abeja la simetría es fundamental para la supervivencia.

            La visión del ojo de la abeja es muy limitada. Mientras vuela explorando el mundo, su cerebro recibe imágenes que están tan distorsionadas como lo estarían para nosotros si observásemos a través de una gruesa plancha de cristal. La abeja mide con dificultad las distancias y por eso choca con los objetos constantemente. La abeja padece una especie de daltonismo. El fondo verde de los prados parece gris y el rojo se limita a destacar algo más claramente como una mancha negra sobre fondo gris. Pero incluso a pesar de esta deficiente visión, existe algo que arde intensamente en los ojos de la abeja: la simetría.

            A la abeja le gustan las simetrías pentagonales, las hexagonales y las marcadamente radiales como las de la margarita o el girasol. La visión del ojo de la abeja ha evolucionado lo suficiente como para percibir estas formas significativas, porque en la simetría está el sustento. Las abejas que son atraídas por las formas con un cierto diseño son las que no pasarán hambre. Para la abeja, la supervivencia del mejor adaptado significa hacerse una experta en simetría. La abeja que no sepa leer los signos y las señales de sustento volará azarosamente por los campos, incapaz de situarse al nivel de sus competidores superiores que sí supieron localizar los diseños.

            Paralelamente, como la planta necesita asimismo atraer a la abeja hacia la flor para que la polinice y así perpetuar su herencia genética, también ella interviene en este diálogo natural. La flor que consigue una perfecta simetría atrae a más abejas y sobrevive más tiempo en la batalla evolutiva. La simetría es, por tanto, el lenguaje que utilizan la flor y la abeja para comunicarse entre sí.

            La flor o el animal con simetría están enviando una señal muy clara de la superioridad genética que tiene sobre sus vecinos. Por eso el mundo animal está poblado de formas que compiten por un equilibrio perfecto. Pero la simetría no es sólo un lenguaje genético que proclama a los compañeros potenciales las bondades del ADN que uno tiene. Concluida la búsqueda de néctar en flores simétricas, la simetría también impregna la vida doméstica de la abeja. Las abejas jóvenes, al mismo tiempo que se sacian con la miel recogida, van segregando trocitos de cera. La concentración de abejas hace que la temperatura de la colmena se mantenga aproximadamente a 35 ºC, lo que hace la cera suficientemente maleable como para que pueda ser modelada por las abejas obreras, que recogen las secreciones de cera y moldean las celdillas que las que se almacenará la miel. El retículo hexagonal que las abejas usan para ello explota otra de las facetas de la simetría.

            La simetría no sólo es una precursora del significado y del lenguaje, sino que es además el camino que sigue la naturaleza para resultar más eficaz y económica. Para la abeja, el retículo de hexágonos permite a la colonia maximizar su capacidad de almacenamiento de miel sin dejar de minimizar el consumo de cera en la construcción de las paredes de las celdillas.

Thomas C. Hales, de la Universidad de Pittsburgh, que en 1999 demostró la Conjetura del Panal.

Aunque las abejas han sabido durante millones de años que los hexágonos son las formas más eficaces para desarrollar los panales de miel, sólo muy recientemente los matemáticos han aclarado por completo la Conjetura del Panal: entre las infinitas elecciones de diferentes estructuras que las abejas podrán haber construido, los hexágonos son los que usan la cantidad mínima de cera para crear el máximo numero de celdas. Esta conjetura, que ha sido objeto de una profunda curiosidad por parte de los matemáticos y permanecía sin demostrar desde la fecha de su planteamiento por Pappus de Alejandría (c. 290 - c. 350), fue finalmente resuelta en 1999 por el matemático Thomas C. Hales (1958), de la Universidad de Pittsburg.

            Teeteto, compañero de Platón durante las discusiones en la Academia, fue precursor en la comprensión del principio que unía a los sólidos preferidos por los pitagóricos, a saber: el cubo, la pirámide y la esfera de doce pentágonos. Teeteto, que será recordado en última instancia por haber captado las matemáticas abstractas de la simetría, vislumbró que si se pretende una figura tridimensional con muchas simetrías es básico construirla a partir de polígonos bidimensionales simétricos. Y que si todas las caras tienen la misma forma se incrementa potencialmente la simetría del sólido resultante. Pero también reconoció que había límites para el tipo de polígonos que se pueden utilizar. Tal y como descubrió la abeja, los hexágonos pueden unirse únicamente para crear una superficie plana. Un dado de caras hexagonales es imposible. Las formas con más lados que el hexágono no son compatibles. Sencillamente, si se ponen dos juntas no hay espacio para insertar una tercera de la misma forma entre ellas. Así es que las caras tienen que construirse con formas de menos de seis lados.

Información más completa se puede encontrar aquí:

• Hales, T. C. "The Honeycomb Conjecture" 8 Jun 1999.
• Hales, T. C. "Cannonballs and Honeycombs." Notices Amer. Math. Soc. 47, 440-449, 2000.
• Hales, T. C. "The Honeycomb Conjecture." Disc. Comp. Geom. 25, 1-22, 2001.
• Hales, T. C. "The Hexagonal Honeycomb Conjecture".
• Hales, T. C. "Background on the Hexagonal Honeycomb Conjecture".
• Kepler, J. L'étrenne ou la neige sexangulaire. Translated from Latin by R. Halleux. Paris: J. Vrin éditions du CNRS, 1975. 
  
• Mackenzie, D. "Proving the Perfection of the Honeycomb." Science 285, 1338-1339, 1999.
• Szpiro, G. "Does the Proof Stack Up?" Nature 424, 12-13, 2003. Thompson, D'A. W. On Growth and Form, 2nd ed., compl. rev. ed. New York: Cambridge University Press, 1992.
• Weyl, H. Symmetry. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1952.