Sobre la teoría del caos, el efecto mariposa, Edward Lorenz y las lavadoras…

          El estudio del caos se considera uno de los más importantes avances científicos del siglo pasado. ¿Quién no ha oído hablar de la célebre mariposa que aleteando en Brasil provoca un mes después un tornado en Texas? Existe una gran cantidad de fenómenos naturales no explicables con la ayuda de las teorías clásicas, sino mediante la simulación de los procesos que los generan. El caos es un tremendo generador de fenómenos y su simulación y estudio han modificado profundamente la manera en que los científicos conciben el universo.

          En otras épocas, la observación de los fenómenos naturales se hacía bajo un enfoque determinista: no se consideraba ningún elemento del azar y se infería la facilidad de realizar predicciones exactas acerca del funcionamiento de los sistemas. Pero el caos demostró que procesos considerados hasta ese momento como puramente deterministas (es decir, sujetos a reglas) podían funcionar sencillamente al azar. A estos procesos se los denominó procesos de caos determinístico.

Parnassius apollo asturiensis (Linnaeus, 1758), especie endémica de la Cordillera Cantábrica
en alturas comprendidas entre los 700 y 2000 m, y con una envergadura alar de hasta 85 mm.
(Imagen de José María Zapico Ordóñez).

          El punto de partida para la teoría del caos es la extraordinaria importancia que se concede a las condiciones iniciales. Se sabe cómo se empieza, pero no cómo se acaba, o sea, la más minúscula variación puede ser amplificada de forma inesperada y conducir a distintos resultados. Esto significa que a pesar de que los sistemas caóticos son predecibles a corto plazo, como sucede por ejemplo con la meteorología, se hacen cada vez más impredecibles a medida que transcurre el tiempo.

          Esta nueva visión contrasta con la idea anterior de que los sistemas estocásticos (regidos por el azar) eran impredecibles en cualquier escala temporal. Por ejemplo, si para cualquier especie relacionamos el número de hijos que sobrevive por pareja con el tiempo, observaremos cómo la densidad de población mantiene un estado de equilibrio estable cuando se estudian periodos cortos de tiempo. En cambio, cuando estos lapsos temporales son mayores la variable densidad tiende al caos y se vuelve impredecible.

          La teoría del caos surge de las matemáticas y la física durante la segunda mitad del siglo XX para estudiar comportamientos no lineales, impredecibles o aleatorios. Desde esta perspectiva, el caos no se entiende como ausencia de orden, sino como cierto tipo de orden de características impredecibles, pero descriptibles, tales como los movimientos de las partículas en un fluido, el clima, o incluso las trayectorias irregulares de cuerpos celestes.

          Paradójicamente, en su sistema caótico existen reglas, pues cada vez que se procesan los mismos datos iniciales, el sistema arroja exactamente los mismos resultados. El caos sólo aparece cuando se modifican las condiciones de entrada, aun así el caos se mantiene dentro de un intervalo, es decir, se encuentra acotado.

          En la vida cotidiana también nos podemos encontrar con diversos sistemas caóticos acotados u ordenados, con los que convivimos a diario, como por ejemplo una lavadora. Esta siempre se mantendrá en el mismo rango energético, por lo que se puede considerar un sistema controlado. Sin embargo, el sistema caótico de la lavadora permite que el agua no siga patrones determinados para enjuagar la ropa. Si se tuviese un flujo constante y periódico de esta función, a alguna fracción de la colada no le llegaría la fuerza del agua o la agitación, concentrándose únicamente en determinadas zonas del tambor. Si la colada girase en una circunferencia específica no se lavaría adecuadamente, pero por tratarse de un sistema caótico el agua y el detergente van de un lado a otro de manera aleatoria, logrando un lavado más uniforme.

          Las dinámicas caóticas han sido comprobadas en laboratorios y sus sistemas vienen siendo repetidamente simulados. Pero ¿qué papel deben desempeñar las teorías del caos en el variable y “ruidoso” mundo natural? Por ahora, los estudios no son lo suficientemente profundos y no existe suficiente material que ayude a conocer la importancia de la teoría del caos en los trabajos de campo. En efecto, en las condiciones de este tipo de trabajos el papel del caos no es fácil de distinguir ya que en muchas ocasiones se confunde con condiciones ambientales muy complejas.

El atractor de Lorenz, concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, muestra cómo el estado de un sistema dinámico

(las tres variables de un sistema de tres dimensiones) evoluciona de forma compleja en el tiempo sin que se repita patrón alguno.

El tiempo atmosférico (no confundir con el clima), además de ser un sistema dinámico, es muy sensible a los cambios en las variables iniciales, es un sistema transitivo y también sus órbitas periódicas son densas, lo que hace del tiempo un sistema apropiado para trabajarlo con matemática caótica. La precisión de las predicciones meteorológicas es relativa, y los porcentajes anunciados tienen poco significado sin una descripción detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una predicción. Al final del siglo XX se hizo común atribuirles una precisión de entre 80 y 85% en plazos de un día. Hoy se encuentran próximos al 90% y manejan más de un millón de variables.

          El meteorólogo Edward Lorenz (1917-2008) fue el primero en registrar un caso conocido de comportamiento caótico. Lorenz empezó su trabajo posdoctoral en 1948 en el Departamento de Meteorología del Massachusetts Institute of Technology. En 1955 fue nombrado director de un proyecto para la predicción estadística del clima, un campo en el que su departamento era pionero. Siguiendo el ejemplo de los astrónomos de los siglos XVIII y XIX, Lorenz estimó las soluciones por medio de cálculos manuales. Después, usando modelos informatizados de la atmósfera y los oceanos, estudió la interrelación no lineal entre tres variables meteorológicas: temperatura, presión y velocidad del viento.

          Pero, Lorenz recibió una gran sorpresa cuando observó que pequeñas diferencias en los datos de partida (algo aparentemente tan simple como utilizar 3 ó 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones del modelo, de tal forma que cualquier pequeña perturbación, o error, en las condiciones iniciales del sistema puede tener una enorme influencia sobre el resultado final. Lorenz se vio obligado a concluir que este comportamiento era inherente a su modelo y en 1963 publicó sus resultados en Journal of the Atmospheric Sciences con un artículo titulado "Deterministic non periodic flow". Los investigadores necesitaron casi una década para comprender la relevancia de este artículo.

Gráficas del programa de predicción de Lorenz para los valores iniciales 0,506 y 0,506127.

          En 1972 Lorenz presentó otro artículo en un congreso en Washington, titulado "Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas?". Realmente no contestó a la pregunta pero indicó que si un simple aleteo podía generar un tornado, entonces también podía evitarlo. Además, el efecto de un aleteo concreto no sería ni inferior ni superior al de cualquier otro aleteo de cualquier otra mariposa. Dos factores aseguraban que el “efecto mariposa” se convertiría en emblema del caos. En primer lugar, entre los primeros sistemas caóticos estudiados por Lorenz estaba el famoso atractor extraño, denominado así porque la gráfica de su solución formaba una especie de mariposa. En segundo lugar, el "efecto mariposa" adquirió una importancia mítica gracias al best seller Chaos (Sphere, London, 1988) de James Gleick, del que existe edición en castellano: Caos: la creación de una ciencia (Seix Barral, Barcelona, 1994), descatalogado en su edición original pero reeditado en 2012 por la editorial Crítica.

          Como quiera que fuese, el "efecto mariposa" hacía muy difícil realizar predicciones meteorológicas a largo plazo. Lorenz intentó explicar esta idea mediante un ejemplo hipotético. Sugirió que imaginásemos a un meteorólogo que hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos y a partir de datos muy exactos. Podría encontrarse una predicción totalmente errónea por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podría introducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la predicción de una tormenta.

          Una de las derivaciones de la teoría del caos se centra en el estudio de los fractales, figuras geométricas en las que los elementos que la conforman se reproducen a distintas escalas hasta el infinito. En una entrada posterior hablaremos del recientemente fallecido Benoit Mandelbrot, de sus geometrías fractales y de cuanto mide la costa de Gran Bretaña... o la de Asturias.

Sobre la conjetura del panal: Thomas C. Hales, Pappus de Alejandría, Teeteto y las abejas...

            Muchos de nosotros, quizá los más observadores, nos hemos fijado en la cantidad de simetrías existentes en la naturaleza, lo cual no es, con certeza, una simple cuestión de estética. Como en las matemáticas, para la naturaleza la simetría tiene que ver con el lenguaje, proporcionando a los animales y a las plantas un medio para transmitir gran cantidad de mensajes, que van desde la superioridad genética hasta la información de tipo alimenticio. Frecuentemente la simetría es un signo con significado y puede, en consecuencia, interpretarse como una forma de comunicación muy básica, casi virgen. Para un insecto como la abeja la simetría es fundamental para la supervivencia.

            La visión del ojo de la abeja es muy limitada. Mientras vuela explorando el mundo, su cerebro recibe imágenes que están tan distorsionadas como lo estarían para nosotros si observásemos a través de una gruesa plancha de cristal. La abeja mide con dificultad las distancias y por eso choca con los objetos constantemente. La abeja padece una especie de daltonismo. El fondo verde de los prados parece gris y el rojo se limita a destacar algo más claramente como una mancha negra sobre fondo gris. Pero incluso a pesar de esta deficiente visión, existe algo que arde intensamente en los ojos de la abeja: la simetría.

            A la abeja le gustan las simetrías pentagonales, las hexagonales y las marcadamente radiales como las de la margarita o el girasol. La visión del ojo de la abeja ha evolucionado lo suficiente como para percibir estas formas significativas, porque en la simetría está el sustento. Las abejas que son atraídas por las formas con un cierto diseño son las que no pasarán hambre. Para la abeja, la supervivencia del mejor adaptado significa hacerse una experta en simetría. La abeja que no sepa leer los signos y las señales de sustento volará azarosamente por los campos, incapaz de situarse al nivel de sus competidores superiores que sí supieron localizar los diseños.

            Paralelamente, como la planta necesita asimismo atraer a la abeja hacia la flor para que la polinice y así perpetuar su herencia genética, también ella interviene en este diálogo natural. La flor que consigue una perfecta simetría atrae a más abejas y sobrevive más tiempo en la batalla evolutiva. La simetría es, por tanto, el lenguaje que utilizan la flor y la abeja para comunicarse entre sí.

            La flor o el animal con simetría están enviando una señal muy clara de la superioridad genética que tiene sobre sus vecinos. Por eso el mundo animal está poblado de formas que compiten por un equilibrio perfecto. Pero la simetría no es sólo un lenguaje genético que proclama a los compañeros potenciales las bondades del ADN que uno tiene. Concluida la búsqueda de néctar en flores simétricas, la simetría también impregna la vida doméstica de la abeja. Las abejas jóvenes, al mismo tiempo que se sacian con la miel recogida, van segregando trocitos de cera. La concentración de abejas hace que la temperatura de la colmena se mantenga aproximadamente a 35 ºC, lo que hace la cera suficientemente maleable como para que pueda ser modelada por las abejas obreras, que recogen las secreciones de cera y moldean las celdillas que las que se almacenará la miel. El retículo hexagonal que las abejas usan para ello explota otra de las facetas de la simetría.

            La simetría no sólo es una precursora del significado y del lenguaje, sino que es además el camino que sigue la naturaleza para resultar más eficaz y económica. Para la abeja, el retículo de hexágonos permite a la colonia maximizar su capacidad de almacenamiento de miel sin dejar de minimizar el consumo de cera en la construcción de las paredes de las celdillas.

Thomas C. Hales, de la Universidad de Pittsburgh, que en 1999 demostró la Conjetura del Panal.

Aunque las abejas han sabido durante millones de años que los hexágonos son las formas más eficaces para desarrollar los panales de miel, sólo muy recientemente los matemáticos han aclarado por completo la Conjetura del Panal: entre las infinitas elecciones de diferentes estructuras que las abejas podrán haber construido, los hexágonos son los que usan la cantidad mínima de cera para crear el máximo numero de celdas. Esta conjetura, que ha sido objeto de una profunda curiosidad por parte de los matemáticos y permanecía sin demostrar desde la fecha de su planteamiento por Pappus de Alejandría (c. 290 - c. 350), fue finalmente resuelta en 1999 por el matemático Thomas C. Hales (1958), de la Universidad de Pittsburg.

            Teeteto, compañero de Platón durante las discusiones en la Academia, fue precursor en la comprensión del principio que unía a los sólidos preferidos por los pitagóricos, a saber: el cubo, la pirámide y la esfera de doce pentágonos. Teeteto, que será recordado en última instancia por haber captado las matemáticas abstractas de la simetría, vislumbró que si se pretende una figura tridimensional con muchas simetrías es básico construirla a partir de polígonos bidimensionales simétricos. Y que si todas las caras tienen la misma forma se incrementa potencialmente la simetría del sólido resultante. Pero también reconoció que había límites para el tipo de polígonos que se pueden utilizar. Tal y como descubrió la abeja, los hexágonos pueden unirse únicamente para crear una superficie plana. Un dado de caras hexagonales es imposible. Las formas con más lados que el hexágono no son compatibles. Sencillamente, si se ponen dos juntas no hay espacio para insertar una tercera de la misma forma entre ellas. Así es que las caras tienen que construirse con formas de menos de seis lados.

Información más completa se puede encontrar aquí:

• Hales, T. C. "The Honeycomb Conjecture" 8 Jun 1999.
• Hales, T. C. "Cannonballs and Honeycombs." Notices Amer. Math. Soc. 47, 440-449, 2000.
• Hales, T. C. "The Honeycomb Conjecture." Disc. Comp. Geom. 25, 1-22, 2001.
• Hales, T. C. "The Hexagonal Honeycomb Conjecture".
• Hales, T. C. "Background on the Hexagonal Honeycomb Conjecture".
• Kepler, J. L'étrenne ou la neige sexangulaire. Translated from Latin by R. Halleux. Paris: J. Vrin éditions du CNRS, 1975. 
  
• Mackenzie, D. "Proving the Perfection of the Honeycomb." Science 285, 1338-1339, 1999.
• Szpiro, G. "Does the Proof Stack Up?" Nature 424, 12-13, 2003. Thompson, D'A. W. On Growth and Form, 2nd ed., compl. rev. ed. New York: Cambridge University Press, 1992.
• Weyl, H. Symmetry. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1952.